集合间的基本关系,有相等、包含、包含于几种。概括起来,集合间的关系分为相等和包含两种,甚至,我们可以把相等理解为一种“你中有我,我中有你”的包含关系。

集合的相等

集合相等,可以用自然语言描述如下:
设 $A$、$B$ 是两个集合,对于集合 $A$ 中的所有元素 $a$,都能在集合 $B$ 中找到与之相等的元素 $b$,反之亦然,称为集合 $A$ 与集合 $B$ 相等,写作 $A=B$。
例如,下面两个集合相等:
$\{x \vert \vert x \vert =1\}$
$\{x \vert x^2=1\}$
实际上,上面的集合都是 $\{1,-1\}$。
规定所有的空集都相等。

集合间的包含关系

如果一个集合$B$中的任何元素都是集合$A$中的元素,则称$B$是$A$的子集,记作$B \subseteq A$,或者称$A$包含$B$并记作$A \supseteq B$,这两个称呼与符号是等价的。
规定空集是任何集合(包括空集本身)的子集。
例如,整数集包含自然数集,自然数集包含正整数集,有理数集是实数集的子集,实数集又是复数集的子集等等。
显然,相等是包含关系的特例。
如果$A$是$B$的子集且两者并不相等,则称$A$是$B$的真子集,记作$A \subset B$,或$B \supset A$。

集合间的基本运算

集合间的基本运算,包括交集、并集、补集。

交集

设$A$与$B$是两个集合,由所有同时属于两者的元素所组成的集合称为它们的交集,记作$A \cap B$,即$A \cap B = \{ x \vert (x \in A) \wedge (x \in B) \}$。
例如,集合 $A=\{1,2,3\}$ 与集合 $B=\{1,2,4\}$ 的交集为
$A \cap B=\{1,2\}$
容易知道,对于具有包含关系的两个集合,它们的交集就是这两个集合中元素较少的那个集合。
例如,集合 $A=\{1,2,3,4,5\}$,集合 $B=\{2,3,4\}$,则 $A \cap B = B$。

并集

设$A$与$B$是两个集合,由所有属于$A$或者属于$B$的元素所组成的集合称为它们的并集,记作$A \cup B$,即$A \cup B = \{x \vert (x \in A) \lor (x \in B) \}$。
容易知道,对于具有包含关系的两个集合,它们的并集就是这两个集合中元素较多的集合。

拓展:交集与并集的混合运算

交集与并集的混合运算满足德摩根律。
设$A$、$B$、$C$是三个集合,则
$A \cap {(B \cup C)} = {(A \cap B)} \cup {(A \cap C)}$
$A \cup {(B \cap C)} = {(A \cup B)} \cap {(A \cup C)}$
设$A$与$B$是两个集合,由所有属于$A$但是不属于$B$的元素所组成集合称为$A$与$B$的差集,记作$A-B$,即$A-B = \{x \vert {(x \in A)} \land (x \notin B) \}$。
在高中数学教材,给出的是补集的概念。
设集合$U$为全集,则集合$A$相对于全集$U$的补集是由属于$U$但不属于$A$的所有元素组成的集合,记作$\complement_{U} A$。
上面差集概念中的集合$A$与集合$B$的关系,表示为补集,如下
$A-B=\complement_{A} B$
显然,$U$的补集可以通过下面的集合运算得到:
$\complement_{U} A = U-A = U-{(U \cap A)}$
以上,就是高中数学中集合有关的运算,下面是作者对于“集合运算”的理解。

运算是可以被定义的

将目光从交集、并集、补集的运算中移开,从更宏观的角度来审视它们,它们有什么特点呢?
既然是一种运算,它就需要定义运算法则,对于数字,我们有加减乘除四则运算,也有乘方开方的运算,当然,如果你高兴,你可以定义其他的运算,但你定义出的运算是否有用就是另一回事了。
对于集合,交集、并集、补集运算,就是一种运算法则,相应的符号被赋予这种运算法则的意义,当然,我们也可以定义新的集合运算,这也是考试中常常出现的考点。
下面就给出一个例子:
定义在整数集范围内的一种运算~,规则如下:
$A \text{~} B=\{x \vert x=a^{b},a \in A,b \in B\}$
设集合$A=\{2,4,6\}$,$B=\{3,5\}$,求集合$A \text{~} B$的元素之和。
首先,求出集合$A \text{~} B$,将集合$A$与集合$B$的元素逐一配对进行运算,可得到如下结果:
$A \text{~} B=\{8,64,216,32,1024,7776\}$
对比交集、并集、补集运算,这种运算也符合用一种运算法则,赋予一个符号,通过这一法则,得出一个集合的过程,但这个运算,除了用来在考试中难为一下同学们,似乎没有其他作用。
集合的章节到这里就结束了,虽然这一张看起来不是很难,但集合是掌握数学语言的基础,它将贯穿我们学习数学的始终,下一张,我们将走进函数的世界,尽请期待。

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