本节介绍数学中的命题与常用逻辑用语及符号。

在数学中,一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题。
命题一般可以写成“如果 A,那么 B”的形式。但这并不意味着不写成如上形式的语句就不是命题。命题强调语义,而不是语句本身。
请看下面的语句:
PHP 是世界上最好的语言。
以上语句是一个命题,至于是真命题还是假命题就需要读者自行思考了。

命题/条件的真假及其符号表示

在以上命题中,只有编程语言为 PHP 时,才能得出后面的结论“最好的语言”。也即是,对于上面的命题,当且仅当条件为真时,命题成立。
设 $p$ 为“若编程语言为 PHP”,$q$ 为“这门语言是最好的语言”,则上面的命题可表示为如下形式:
若 $p$ ,则 $q$。
对 $p$ 和 $q$ 的其中一个或两个取反可得到一个新命题。
对 $p$ 取反后用符号 $\neg p$ 表示,同理,$q$ 的取反用 $\neg q$ 表示,分别读作“非 p”和“非 q”。
给定命题 “若 p 则 q”,有如下概念:

  • 对结论 $q$ 取反,得到的命题: “若 $p$ 则非 $q$”,是相对于原命题的否定。
  • 同时否定题设和结论后得到的新命题,称为原命题的否命题。
  • 对调题设和结论得到的新命题,称为原命题的逆命题。
  • 对调题设和结论后,同时对题设和结论取反,得到的新命题,称为原命题的逆否命题。

也可以通过把条件用另外两个逻辑用语“”和“”组合来构造更复杂的条件。例如下面的命题:
给定两个实数 $a$ 和 $b$,若 $a>0$ 且 $b>0$,则有以下基本不等式成立:
$a+b\geq2\sqrt{ab}$
用符号可表示为 $\wedge$, 用符号可表示为 $\vee$。

全称命题和存在命题

全称命题,是带有诸如“对于任意”、“对于所有”等全称量词的命题,是一种高级数学命题。例如:
对于任意 $x \in \mathbb{R}$,有 $x^2 \geq0$。
全称命题可以简单的写为以下形式:
$\forall{x \in M},Q{(x)}$
上面的命题读作:
对于所有 x 属于 M,有 Q(x) 成立。
符号形式对于描述数学命题非常方便,但如果是非数学内容,要注意从语义出发来理解全称命题,例如:
所有梦想都会成真。
以上命题的真假,请自行判断。
与全称命题相对的是特称命题,又叫存在命题,用符号可简记为以下形式:
$\exists{x_0 \in M},Q(x_0)$
特别的,全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题。
END

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